Universo (continuación)

"Las especulaciones en torno a la estructura del universo se movieron también en otra dirección muy distinta. En efecto, el desarrollo de la Geometría no euclidiana hizo ver que es posible dudar de la infinitud de nuestro espacio sin entrar en colisión con las leyes del pensamiento ni con la experiencia (Riemann, Helmholtz). Estas cuestiones las han aclarado ya con todo detalle y con insuperable lucidez Helmholtz y Poincare, mientras que aquí yo no puedo hacer más que tocarlas fugazmente.

Imaginemos en primer lugar un suceso bidimensional. Supongamos que unos seres planos, provistos de herramientas planas -en particular pequeñas reglas planas y rígidas- se pueden mover libremente en un plano. Fuera de él no existe nada para ellos; el acontecer en su plano, que ellos observan en sí mismos y en sus objetos, es un acontecer casualmente cerrado. En particular son realizables las construcciones de la Geometría euclidiana plana con varillas, por ejemplo la construcción reticular sobre la mesa que vimos en S24. El mundo de estos seres es, en contraposición al nuestro, espacialmente bidimensional, pero, al igual que el nuestro, de extensión infinita. En él tienen cabida infinitos cuadrados iguales construidos con varillas, es decir, su volumen (superficie) es infinito. Si estos seres dicen que su mundo es "plano", tiene sentido su afirmación, a saber, el sentido de que con sus varillas se pueden realizar las construcciones de la Geometría euclidiana del plano, representando cada varilla siempre el mismo segmento, independientemente de su posición.

Volvamos ahora a imaginarnos un suceso bidimensional, pero no en un plano, sino en una superficie esférica. Los seres planos, junto con sus reglas de medida y demás objetos, yacen exactamente en una superficie y no pueden abandonarla; todo su mundo perceptivo se extiende única y exclusivamente a la superficie esférica. Estos seres ¿podrán decir que la Geometría de su mundo es una Geometría euclidiana bidimensional y considerar que sus varillas son una realización del "segmento"? No pueden, porque al intentar materializar una recta obtendrán una curva, que nosotros, seres "tridimensionales", llamamos círculo máximo, es decir, una línea cerrada de determinada longitud finita que se puede medir con una varilla. Este mundo tiene asimismo una superficie finita, que se puede comparar con la de un cuadrado construido con varillas. El gran encanto que depara el sumergirse en esta reflexión reside en percatarse de lo siguiente: "el mundo de estos seres es finito y sin embargo no tiene limites".

Ahora bien, los seres esféricos no necesitan emprender un viaje por el universo para advertir que no habitan en un mundo euclidiano. Pueden convencerse de ello en cualquier trozo no demasiado pequeño de la esfera. Basta con que, desde un punto, tracen "segmentos rectos" (arcos de circunferencia, si lo juzgamos tridimensionalmente) de igual longitud en todas direcciones. La unión de los extremos libres de estos segmentos la llamarán circunferencia, medido con una varilla, y el diámetro, medido con la misma varilla, es igual, según la Geometría euclidiana del plano, a una constante "pi" que es independiente del diámetro de la circunferencia. Sobre la superficie esférica, nuestros seres hallarían para esta razón el valor \pi \frac{\sin \frac{r}{R}}{\frac{r}{R}} , es decir, un valor que es menor que "pi", y tanto menos cuanto mayor sea el radio de la circunferencia en comparación con el radio R del "mundo esférico". A partir de esta relación pueden determinar los seres esféricos el radio R de su mundo, aunque sólo tengan a su disposición una parte relativamente pequeña de la esfera para hacer sus mediciones. Pero si esa parte es demasiado reducida, ya no podrán constatar que se hallan sobre un mundo esférico y no sobre un plano euclidiano, porque un trozo pequeño de una superficie esférica difiere poco de un trozo de plano de igual tamaño.

Así pues, si nuestros seres esféricos habitan en un planeta cuyo sistema solar ocupa sólo una parte ínfima del universo esférico, no tendrán posibilidad de decidir si viven en un universo finito o infinito, porque el trozo de universo que es accesible a su experiencia es en ambos casos prácticamente plano o euclidiano. Esta reflexión muestra directamente que para nuestros seres esféricos el perímetro de la circunferencia crece al principio con el radio hasta alcanzar el "perímetro del universo", para luego, al seguir creciendo el radio, disminuir paulatinamente hasta cero. La superficie del círculo crece continuamente, hasta hacerse finalmente igual a la superficie total del universo esférico entero.

Al lector quizá le extrañe que hayamos colocado a nuestros seres precisamente sobre una esfera y no sobre otra superficie cerrada. Pero tiene su justificación, porque la superficie esférica se caracteriza, frente a todas las demás superficies cerradas, por la propiedad de que todos sus puntos son equivalentes. Es cierto que la relación entre el perímetro "p" de una circunferencia y su radio "r" depende de "r"; pero, dado "r", es igual para todos los puntos del universo esférico. El universo esférico es una "superficie de curvatura constante".

Este universo esférico bidimensional tiene su homólogo en tres dimensiones, el espacio esférico tridimensional, que fue descubierto por Riemann. Sus puntos son también equivalentes. Posee un volumen finito, que viene determinado por su "radio" R\left ( 2\pi ^{2}R^{3} \right ). ¿Puede uno imaginarse un espacio esférico? Imaginarse un espacio no quiere decir otra cosa que imaginarse un modelo de experiencias "espaciales", es decir, de experiencias que se pueden tener con el movimiento de cuerpos "rígidos". En este sentido sí que cabe imaginar un espacio esférico.

Desde un punto trazamos rectas (tensamos cuerdas) en todas direcciones y marcamos en cada una el segmento "r" con ayuda de la regla de medir. Todos los extremos libres de estos segmentos yacen sobre una superficie esférica. Su área (A) podemos medirla con un cuadrado hecho con reglas. Si el mundo es euclidiano, tendremos que A= 4\pi r^{2}; si el mundo es esférico, entonces A será siempre menor que A= 4\pi r^{2}. "A" aumenta con r desde cero hasta un máximo que viene determinado por el "radio del universo", para luego disminuir otra vez hasta cero al seguir el radio de la esfera "r". Las rectas radiales que salen del punto origen se alejan al principio cada vez más unas de otras, vuelven a acercarse luego y convergen otra vez en el punto opuesto al origen; habrán recorrido entonces todo el espacio esférico. El fácil comprobar que el espacio esférico tridimensional es totalmente análogo al bidimensional (superficie esférica). Es finito (es decir, de volumen finito) y no tiene límites.

Señalemos que existe también una variedad del espacio esférico: el "espacio elíptico". Cabe concebirlo como un espacio esférico en el que los "puntos opuestos" son idénticos (no distinguibles). Así pues, un mundo elíptico cabe contemplarlo, en cierto modo, como un mundo esférico con simetría central.

De lo dicho se desprende que es posible imaginar espacios cerrados que no tengan límites. Entre ellos destaca por su simplicidad el espacio esférico (o el elíptico), cuyos puntos son todos equivalentes. Según todo lo anterior, se les plantea a los astrónomos y a los físicos un problema altamente interesante, el de si el universo en que vivimos es infinito o , al estilo del mundo esférico, finito. Nuestra experiencia no basta ni de lejos para contestar a esta pregunta. la teoría de la relatividad general permite, sin embargo, responder con bastante seguridad y resolver de paso la dificultad explicada en S30 (Albert Einstein; Sobre la teoría de la relatividad especial y general; nº31. La posibilidad de un universo finito y sin embargo no limitado).